给小朋友解释三门问题
有天晚上, 上三年级的小朋友很认真地说, 要给我出一个数学问题.
他描述的问题是这样的:
有三扇门, 一扇门后面有一辆车, 另外两扇门后面各有一只山羊. 我先选一扇门, 然后主持人会打开另外两扇门中的一扇, 这扇门后面是一只山羊. 现在我有两个选择:
- 坚持选择我最初选的那扇门.
- 换到另外一扇还没打开的门.
问题是: 我应该坚持选择, 还是换门, 哪个选择赢得车的概率更大?
听完这个问题, 我感觉以前听过类似的问题, 但当时没太在意. 于是我思考了一下, 说到: “换不换门, 赢车的概率其实是一样的, 都是1/2”.
小朋友听了, 觉得我说得不对, 他说: “你错了, 换门赢车的概率是2/3, 坚持选择赢车的概率是1/3”.
我觉得这个问题挺有趣的, 感觉应该没有那么简单, 但是我觉我的推理分析也没有差错. 于是我问他, 这个问题你是从哪里听的? 如果是老师讲的, 或者从某些科普书上看到的, 那么这个问题应该是有标准答案的.
他说可能是从某个音频节目上听到的, 但他也不太确定.
接着他又进一步给我解释说: "假设有100个门, 其中99个门后面是山羊, 只有1个门后面是车. 你先选一个门, 你选中的门有1/100的概率是车, 有99/100的概率是山羊. 然后主持人会打开另外99个门中的98个, 这些门后面都是山羊. 现在只剩下你最初选的那个门和另外一个没打开的门. 如果你坚持选择你最初选的门, 你赢车的概率还是1/100. 但是如果你换到另外一个没打开的门, 你赢车的概率就是99/100. 所以换门赢车的概率更大."
其实听完他的这段解释, 我还是没太明白.
于是我去问了一下大模型, 才发现他描述的问题里面没有突出主持人的角色. 其实主持人是知道哪扇门后面是车还是山羊的, 他完全知道每扇门后面是什么, 并且当我选择一扇门后, 他必须打开一扇有山羊的门. 这样的行为影响了最终的概率分布.
为了解释这个问题, 我决定重新梳理一下这个问题的逻辑.
假设主持人并不知道门后的情况
在我选择之后, 他从我没选的2扇门里面随机选择了一扇门, 并且结果里面是山羊,这种情况下, 不论从我的角度还是从主持人的角度去看, 我坚持选择和换门的概率都是1/2.
假设主持人知道门后的情况
我们先从主持人的行为角度来分析:
当我选择了一扇门后, 主持人会根据我选择的门后面的情况来决定他打开哪扇门.
- 如果我选择的门后面是车, 那么主持人可以从另外两扇门中任选一扇有山羊的门打开.
- 如果我选择的门后面是山羊, 那么主持人只能打开另外唯一的一扇有山羊的门.
从主持人的行为可以看出, 主持人的选择是有条件的, 因为他知道门后的情况, 所以他的选择不是随机的, 而是受限于我最初选择的门后面的情况.
从我的角度来看, 我仍然看到2扇门, 其中一个有车, 另一个有山羊. 单纯的分析, 我觉得坚持选择和换门的概率都是1/2.
但是考虑到主持人的行为是有条件的, 他的选择实际上影响了剩下两扇门的概率分布.
具体分析
假设3扇门分别是A, B, C. 具体车在哪个门后面是不影响整体分析的, 因为他们是对称的.
假设车在A门后面, 山羊在B和C门后面, 从事前各种可能的情况来纯理论推演分析:
- 假设我选择A门(车), 主持人可以打开B或C(山羊), 如果我坚持选择A, 赢车; 换门到C或B, 输.
- 假设我选择B门(山羊), 主持人只能打开C(山羊), 如果我坚持选择B, 输; 换门到A, 赢车.
- 假设我选择C门(山羊), 主持人只能打开B(山羊), 如果我坚持选择C, 输; 换门到A, 赢车.
总结以上3种情况:
- 坚持选择赢车的情况: 1次(选择A)
- 换门赢车的情况: 2次(选择B或C)
结论
通过以上分析可以看出, 坚持选择赢车的概率是1/3, 换门赢车的概率是2/3. 所以小朋友说的是对的, 换门赢车的概率更大.